【椭圆曲线整数点的递推序列及二次剩余法求解】
【摘要：研究了某种特殊类型的递推序列的同余性质。利用这些性质及二次剩余等初等数论方法与技巧，证明了Zagier提出的椭圆曲线y=x-30x+133的所有整数点是(x，y)=(-7，0)，(-3，±14)，(2，±9)，(6，±13)，(5143326，±11664498677)。】
【关键词：丢番图方程；椭圆曲线……】
陆舟双手稳健地敲打在键盘上，只见电脑屏幕上的字越来越多，没一会儿便填充了文档里的第一正业。
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。
而这篇数学论文的来源是他之前学习数论的时候，注意到椭圆曲线的整数点问题，由于曲线类型的多样性，没有一个统一的方法或算法能在有限步之内求解出任意给定的椭圆曲线的整数点。
那如何解决这个整数点问题？
陆舟脑袋灵光一闪，将椭圆曲线的整数点问题转化为研究递推序列的数论性质，并最终利用排除法求出了所有整数点。
递推序列方法虽然是一种初等的方法，但通过与二次剩余相结合并运用一定的技巧，可以解决一些困难的丢番图方程求解问题。
“为了证明定理1，需要研究递推序列的同余性质。经计算知649+180√13是Pel方程……”陆舟一边写着论文一边低声呢喃着。
一旁的舍友老王不知道何处凑了上前，微弓着腰，十分好奇地望着电脑屏幕，一脸狐疑地问道：“肘子，你这是在写作业还是写啥？”
“写论文。”陆舟视线没有从电脑上移开，一心二用地回道。
“论、论文，是要投稿的吗？”老王瞪大着眼睛，有些磕巴地说道。
“当然是要投稿的，不然写来干嘛？”陆舟手上的动作稍微停顿，接着连续地键盘声重新响起。
“投稿欸！这可是传说中的论文投稿，好厉害的感觉！”老王顿时眼冒金星，对于一个大二的学生老说，完全没接触过论文这东西，平时也就是写写作业的课程论文，跟这种真正的论文完全不一样。
可能大部分本科生四年下来，只有到写毕业论文的时候才会接触到这个。
“这不会是数学论文吧？”老王瞅了几眼，再联想到陆舟可是拿过全国大学生数学建模竞赛高教社杯的人，数学方面天赋过人。
“对，就是数学的。”
“太牛了吧！”
老王有些崇拜地说着，然后凑近把题目磕磕巴巴地念了一遍，“椭圆曲线整数点的递推序列……这都是啥啊，我怎么完全看不懂。”
老王眼睛顿时迷离了，别说内容了，光是一个论文的标题就已经把他给看懵逼了。
“看不懂很正常。”陆舟随口道。
老王起身，就站在陆舟的身后，一脸羡慕地望着陆舟的背影。
只有羡慕，没有嫉妒也没有恨。
天天生活在一起，他知道陆舟在学习上有多拼，付出了多少汗水。
现在取得了成就，也是很理所当然的。
有天赋、还这么勤奋努力，这样的人不成功才见鬼了。
「好想变得和陆舟一样的上进！」
脑海中突然蹦出来的想法把他吓了一跳。
可随即，他竟有些意动。
“要不试试？”他不自信地问道。
想着，老王做回自己座位上，拿出书开始复习。
旁边的一个舍友刚好去上厕所，注意到老王的异常，忍不住调侃道：“哟，老王怎么还开始学习起来了，这不还没到期末吗？”
“一边去，别打扰我自学，以后请叫我学霸王！”老王信心满满地说道。
十分钟后。
老王上下眼皮开始打架，一分钟内打哈欠的频率已经高达七八次。
“老王，我王者农药吗？4缺一，就等你了，来不来？”舍友喊道。
“不打……我学习呢。”老王打哈欠地说道。
“真不来，有妹纸哦！”舍友嘿嘿一笑。
“不来，书中自有黄金屋，书中自有颜如玉！”老王坚定地说道。
“切，你也就三分钟热度，能坚持一天下去我就服你。”
舍友见无果后，直接拉了个野人开始了。
十五分钟后。
老王把头转向之前相邀的舍友，犹豫了下，开口问道：“阿春，你们打完了没？”
“干啥，你不是找你的颜如玉吗？”
“咳咳，颜如玉今天好像不在家，学习嘛，晚一点也没大事，我先跟你们打会游戏再去学习。”老王说完，把书一丢，拉着椅子坐到舍友边上。
陆舟看到这一幕，忍不住摇摇头。
人呢，大部分都是三分钟热情，或者假勤奋。
学习并非一件轻易的事情，而且这还是一项长期的任务，必须要持之以恒地坚持下去，只是大部分人都会半途而废。
陆舟却很坚定自己的信念，他想要看看自己的极限在哪里，想要去看看这个世界究竟有多辽阔。
……