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橢圓曲線在現代數學裡到處出現，主攻其他分支的數學家紛紛研究起橢圓曲線，先行者是算君龐加萊，這位百年一出的全能型天才學者在1901年最先觀察到：對於每條橢圓曲線，都有一個特定羣與之聯繫。
不少數學家結合羣論手段研究橢圓曲線，並取得了卓有成效的戰果。
橢圓曲線理論引起數學家們的重視得益於天才算君龐加萊，它的興盛則得益於另一位勤奮型的天才懷爾斯。
安德魯-懷爾斯採用橢圓曲線手段證明了費馬大定理，他應該感謝谷山豐和志村五郎在更早之前作出的猜想。
谷山-志村猜想提供了一條有效的途徑，這是費馬大定理證明方案的重要步驟。
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懷爾斯先證明了谷山-志村猜想，不久之後費馬大定理被他和理查德-泰勒順利搞定。
而谷山-志村猜想的提出者之一谷山豐，他雖然比懷爾斯更早洞察到天機，卻苦於無法證明他自己提出的猜想。
年僅31歲的谷山豐在婚禮前夜跳海自殺，一個月後，與他訂了婚的新娘自殺殉情。這或許是數學史上最慘痛的悲劇。
橢圓曲線帶來的不僅是成功和喜悅，亦有失敗和悲傷。
經過一百多年的發展，當代研究橢圓曲線的學者們，同樣是悲喜交加。
BSD猜想這個數論問題，實際上轉化爲橢圓曲線的問題。
歐葉並不是第一個想到運用羣論+橢圓曲線的方法去證明BSD猜想的人。
早就有人這麼做了，只不過沒有成功。
計算機屏幕上顯示：
L（E，1）≠0→r（E）=0，#Sha（E）＜∞……r（E）=1，#Sha（E）＜∞→ords=1L（E，1）=1……
#Sha（E）表示橢圓曲線E的Shafarevich-Tate羣的階數，這個羣十分神秘，包括此羣的提出者沙法列維奇、約翰-泰特在內，數學家們連這個羣是不是有限羣都沒整明白。
當然了，如果你先承認BSD猜想，那麼Shafarevich-Tate羣則必然是有限羣。
趙天、小云、曾寒三人非常激動，計算機驗算結果很有信服力的顯示：基於歐葉算法，Shafarevich-Tate羣是有限羣！
這無疑是證明BSD猜想的一個有力證據，是一個重要的前置步驟！
“這是我們的一小步，這是人類的一大步！”
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“葉子姐牛批！”
“啊哈哈哈，真的牛批！”
趙天和小云相擁慶祝，一向沉默寡言的曾寒亦熱血沸騰。
他們爲啥這麼激動，因爲在他們看來，他們團隊此刻所取得的研究成果，非常接近於安德魯-懷爾斯在證明費馬大定理之前，先證明了谷山-志村猜想。
“沙法列維奇、約翰-泰特兩位大神沒有搞定的問題，被我們搞定了！葉子姐萬歲！小曾弟弟，把驗算結果保存一下，然後發給葉子姐。”趙天迫不及待想把這個好消息告訴歐葉。
沙法列維奇，前蘇聯著名數學家，他編寫的代數幾何、代數數論、代數學教材，是新中國成立後最早被引入國內的高校數學專業的數學教材之一。歐葉本科階段的老師，都是學的沙法列維奇版教材。
約翰-泰特，美國數學家，此人也是沈奇、歐葉、周雨安的普林斯頓校友。約翰-泰特是沃爾夫獎、阿貝爾獎的雙料得主，他是代數數論領域的大師級人物，他缺的只是一枚菲獎獎章。
沙法列維奇、約翰-泰特兩位大神前輩沒有論證明白的Shafarevich-Tate羣問題，被歐葉的幾張手稿論證的清清楚楚。
但是，伯奇、斯溫納頓-戴爾沒能證明的問題，歐葉暫時也沒能徹底證明。
“有些遺憾啊，計算機無法驗證analytic rank大於等於2的情況，無效條件，這是啥意思……不過我們徹底證明了analytic rank等於0、1的橢圓曲線滿足BSD猜想，小曾，數據保存好了嗎？趕緊發給葉子姐！”
……
……